Contoh Soal Deret Geometri: Materi Lengkap & Pembahasan
Memahami Deret Geometri
Sebelum membahas contoh soal deret geometri, mari kita pahami dulu konsep dasar deret geometri. Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan geometri. Barisan geometri sendiri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio atau perbandingan antara dua suku berurutan yang konstan. Rasio ini sering dilambangkan dengan 'r'. Rumus umum suku ke-n dalam barisan geometri adalah: aₙ = a₁ * r⁽ⁿ⁻¹⁾, di mana a₁ adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah nomor suku. Penguasaan rumus ini sangat penting untuk menyelesaikan contoh soal deret geometri.
Rumus Deret Geometri
Untuk menghitung jumlah suku-suku dalam deret geometri, kita dapat menggunakan rumus berikut:
Untuk deret geometri berhingga: Sₙ = a₁ (1 - rⁿ) / (1 - r) dengan syarat r ≠ 1. Rumus ini digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama.
- Untuk deret geometri tak hingga:
S∞ = a₁ / (1 - r)dengan syarat|r| < 1. Rumus ini digunakan untuk menghitung jumlah seluruh suku jika rasio berada di antara -1 dan 1.
Pemahaman rumus di atas sangat krusial dalam menyelesaikan berbagai contoh soal deret geometri.
Contoh Soal Deret Geometri dan Pembahasan
Berikut beberapa contoh soal deret geometri dengan tingkat kesulitan yang bervariasi:
Contoh 1: Deret Geometri Berhingga
Sebuah deret geometri berhingga memiliki suku pertama 2 dan rasio 3. Tentukan jumlah 5 suku pertama deret tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui: a₁ = 2, r = 3, n = 5. Kita gunakan rumus Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r).
S₅ = 2 (1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2 (1 - 243) / (-2) = 242
Jadi, jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut adalah 242.
Contoh 2: Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri tak hingga memiliki suku pertama 4 dan rasio 1/2. Tentukan jumlah deret tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui: a₁ = 4, r = 1/2. Karena |r| < 1, kita dapat menggunakan rumus S∞ = a₁ / (1 - r).
S∞ = 4 / (1 - 1/2) = 4 / (1/2) = 8
Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 8.
Contoh 3: Mencari Suku Pertama dan Rasio
Jumlah tiga suku pertama suatu deret geometri adalah 21, dan jumlah tiga suku berikutnya adalah 168. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri tersebut.
Penyelesaian: Soal ini memerlukan penyelesaian persamaan simultan. Biarkan a₁ menjadi suku pertama dan r menjadi rasio. Kita punya dua persamaan:
a₁ + a₁r + a₁r² = 21
a₁r³ + a₁r⁴ + a₁r⁵ = 168
Dengan penyederhanaan dan eliminasi, kita dapat menemukan nilai a₁ dan r. (Penyelesaian detailnya akan membutuhkan ruang yang lebih luas).
Tanya Jawab
Q: Apa perbedaan antara barisan geometri dan deret geometri?
A: Barisan geometri adalah urutan bilangan dengan rasio tetap antara dua suku berurutan. Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan geometri.
Q: Bagaimana cara menentukan apakah suatu deret adalah deret geometri?
A: Periksa apakah rasio antara dua suku berurutan konstan. Jika konstan, maka itu adalah deret geometri.
Q: Apa yang terjadi jika rasio (r) dalam deret geometri tak hingga lebih besar dari 1?
A: Jika |r| ≥ 1, maka jumlah deret geometri tak hingga tidak terdefinisi (divergen). Rumus untuk deret geometri tak hingga hanya berlaku jika |r| < 1 (konvergen).
Kesimpulan
Memahami contoh soal deret geometri dan rumusnya sangat penting dalam matematika. Dengan berlatih lebih banyak soal, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret geometri, baik berhingga maupun tak hingga. Semoga artikel ini bermanfaat!
